Impedans

Impedans \(Z\) er det vekselstraum-analoge til resistans — den effektive "motstanden" ein AC-spenning ser, både i magnitude og i faseforskyving. Saman med Reaktans og Ohms lov er dette grunnsteinen i AC-analyse.

For ein serie-RLC-krets stiller resistansen \(R\) og total reaktansen \(X = X_L - X_C\) vinkelrett på kvarandre i kompleksplanet. Impedansen er hypotenusen.

Formel

Magnitude:

\[ \huge Z = \sqrt{R^2 + X^2} \]

der \(X = X_L - X_C\) er netto reaktans.

Faseforskyving mellom spenning og straum:

\[ \large \tan \varphi = \dfrac{X}{R} \qquad \cos \varphi = \dfrac{R}{Z} \]

Ohms lov for AC (med rms-verdiar):

\[ \large U = Z \cdot I \]

Variabler

\(Z =\) Impedans (\(\Omega\))
\(R =\) Resistans (\(\Omega\))
\(X =\) Netto reaktans, \(X_L - X_C\) (\(\Omega\)) — sjå Reaktans
\(X_L =\) Induktiv reaktans, \(2\pi f L\) (\(\Omega\))
\(X_C =\) Kapasitiv reaktans, \(1/(2\pi f C)\) (\(\Omega\))
\(\varphi =\) Faseforskyving mellom \(U\) og \(I\) (\(rad\) eller \(°\))
\(\cos \varphi =\) Effektfaktor (–)

Enheter og antagelser

SI-enheter: Ohm, radianer.

Formelen gjeld for serie-RLC (alle elementa i ein straumveg). For parallell-kopling må ein anten reise inn i kompleksplanet:

\(\large Z = R + j(X_L - X_C)\)

og bruke serie/parallell-reglane på dei komplekse verdiane, eller arbeide med admittans \(Y = 1/Z\).

Verdiane \(U\) og \(I\) er rms (effektivverdiar). Toppverdi er \(\sqrt{2}\) gonger større.

Fortegnskonvensjon:
- \(\varphi > 0\) (induktiv): straumen ligg etter spenninga.
- \(\varphi < 0\) (kapasitiv): straumen ligg før spenninga.
- \(\varphi = 0\) (resonans, \(X_L = X_C\)): rein resistiv, \(Z = R\).

Effektrelasjonar (sjå òg Trefase effekt):
- Aktiv effekt \(P = U \cdot I \cdot \cos \varphi\)
- Tilsynelatande effekt \(S = U \cdot I = Z \cdot I^2\)
- Reaktiv effekt \(Q = U \cdot I \cdot \sin \varphi\)

Utledning

I serie deler \(R\), \(X_L\) og \(X_C\) same straum \(I\). Spenningsfallet over kvar er \(I R\), \(I X_L\) og \(I X_C\) — men fasevektorane peiker i ulike retningar:

Spenninga over \(R\) er i fase med \(I\) (peikar langs reell akse).
Spenninga over \(X_L\) ligg +90° før \(I\) (peikar langs +imaginær akse).
Spenninga over \(X_C\) ligg –90° etter \(I\) (peikar langs –imaginær akse).

Total spenning er vektorsummen:

\(\large U = I \cdot \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}\)

Definer \(Z = U/I\), og du får impedans-formelen. Faseforskyvinga \(\varphi\) er vinkelen mellom \(U\)-vektoren og \(I\)-vektoren — som \(\tan \varphi = X/R\) frå rettvinkla geometri.

Eksempel

1) Motor som serie-RL: Ein einfase motor er modellert som \(R = 4 \, \Omega\) i serie med \(X_L = 3 \, \Omega\) ved 50 Hz.

\(Z = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 \, \Omega\)

På 230 V: \(I = U/Z = 230/5 = 46 \, A\)

\(\cos \varphi = R/Z = 4/5 = 0{,}80\) (induktiv)

Aktiv effekt: \(P = U \cdot I \cdot \cos \varphi = 230 \cdot 46 \cdot 0{,}80 \approx 8{,}5 \, kW\)

Tilsynelatande effekt: \(S = U \cdot I = 230 \cdot 46 \approx 10{,}6 \, kVA\)

2) Resonans: Ein serie-RLC med \(R = 10 \, \Omega\), \(L = 100 \, mH\), \(C = 100 \, \mu F\).

Ved 50 Hz: \(X_L = 2\pi \cdot 50 \cdot 0{,}1 \approx 31{,}4 \, \Omega\), \(X_C = 1/(2\pi \cdot 50 \cdot 10^{-4}) \approx 31{,}8 \, \Omega\)

\(X = X_L - X_C \approx -0{,}4 \, \Omega\) (lett kapasitiv, nær resonans)

\(Z = \sqrt{10^2 + 0{,}4^2} \approx 10{,}0 \, \Omega\) — nesten reint resistiv.

(Eksakt resonansfrekvens: \(f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC}) = 1/(2\pi\sqrt{0{,}1 \cdot 10^{-4}}) \approx 50{,}3 \, Hz\).)

For copy/paste

Markdown / Latex:

$$
Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}
$$

$$
\cos \varphi = \dfrac{R}{Z}
$$

Python:

import math, cmath

def impedans(R, XL=0, XC=0):
    """Magnitude Z [Ω] og faseforskyving φ [rad] for serie-RLC."""
    X = XL - XC
    Z = math.hypot(R, X)
    phi = math.atan2(X, R)
    return Z, phi

def impedans_kompleks(R, XL=0, XC=0):
    """Impedans som komplekst tal Z = R + jX."""
    return complex(R, XL - XC)