Reaktans

Reaktans er den frekvensavhengige "motstanden" som ein spole (\(X_L\)) eller kondensator (\(X_C\)) gir mot vekselstraum. Til skilnad frå resistans, omset reaktans ikkje energi til varme — han lagrar henne (i magnetfelt eller elektrisk felt) og leverer henne tilbake i neste halvperiode.

Saman med Impedans og Ohms lov utgjer dette grunnlaget for AC-analyse.

Formel

Induktiv reaktans (spole):

\[ \huge X_L = 2 \pi f L = \omega L \]

Kapasitiv reaktans (kondensator):

\[ \huge X_C = \dfrac{1}{2 \pi f C} = \dfrac{1}{\omega C} \]

Resonansfrekvens (når \(X_L = X_C\)):

\[ \large f_0 = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{L \cdot C}} \]

Variabler

\(X_L =\) Induktiv reaktans (\(\Omega\))
\(X_C =\) Kapasitiv reaktans (\(\Omega\))
\(f =\) Frekvens (\(Hz\)) — i Noreg 50 Hz på nettet
\(\omega =\) Vinkelfrekvens, \(2\pi f\) (\(rad/s\))
\(L =\) Induktans (\(H\), henry)
\(C =\) Kapasitans (\(F\), farad)
\(f_0 =\) Resonansfrekvens (\(Hz\))

Enheter og antagelser

SI-enheter: Ohm, Hertz, Henry, Farad. Hugs at praktiske komponentar gjerne er i mH (milli) og µF (mikro):

\(1 \, mH = 10^{-3} \, H\), \(\quad 1 \, \mu F = 10^{-6} \, F\), \(\quad 1 \, nF = 10^{-9} \, F\)

Reaktans-formlane gjeld for ideelle komponentar — verkelege spolar har òg resistans (kobbertap) og parasittisk kapasitans, og verkelege kondensatorar har lekkasje og ESR. For 50 Hz-bruk er ideal-modellen som regel god nok.

Karakteristikk-oppførsel:
- Spole: \(X_L \propto f\) — blokkerer høge frekvensar, sleppar gjennom DC (\(X_L = 0\) ved \(f = 0\)).
- Kondensator: \(X_C \propto 1/f\) — blokkerer DC (\(X_C \to \infty\) ved \(f = 0\)), sleppar gjennom høge frekvensar.

I serie-RLC oppfører dei seg motsette i fase, og delvis kansellerer kvarandre — derav \(X = X_L - X_C\) i impedans-formelen.

Faseforskyving for ein ideell komponent:
- Spole: straumen ligg 90° etter spenninga.
- Kondensator: straumen ligg 90° før spenninga.

Utledning

For ein induktor med \(u(t) = U_0 \sin(\omega t)\) og relasjon \(u = L \, di/dt\):

\(\large i(t) = \dfrac{1}{L} \int u \, dt = -\dfrac{U_0}{\omega L} \cos(\omega t) = \dfrac{U_0}{\omega L} \sin(\omega t - 90°)\)

Forholdet mellom topp-spenning og topp-straum (= reaktans) er:

\(\large X_L = \dfrac{U_0}{I_0} = \omega L = 2\pi f L\)

For ein kondensator med \(i = C \, du/dt\) og same \(u(t)\):

\(\large i(t) = C \cdot U_0 \omega \cos(\omega t) = U_0 \omega C \sin(\omega t + 90°)\)

\(\large X_C = \dfrac{U_0}{I_0} = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{2\pi f C}\)

Faseforskyvingane (±90°) fell ut av sinus/cosinus-relasjonen.

Eksempel

1) Spole på 50 Hz: Ein 10 mH spole.

\(X_L = 2\pi \cdot 50 \cdot 0{,}010 \approx 3{,}14 \, \Omega\)

På 230 V (idealisert): \(I = 230/3{,}14 \approx 73 \, A\) — straumen avgrensa berre av reaktansen, men i praksis avgrensar resistans og spole-spesifikasjonar.

2) Kondensator på 50 Hz: Ein 100 µF kondensator (typisk fasekompensering).

\(X_C = \dfrac{1}{2\pi \cdot 50 \cdot 100 \cdot 10^{-6}} \approx 31{,}8 \, \Omega\)

På 230 V: \(I = 230/31{,}8 \approx 7{,}2 \, A\) rms reaktiv straum.

Reaktiv effekt: \(Q = U \cdot I = 230 \cdot 7{,}2 \approx 1{,}66 \, kVAR\) — typisk fasekompenseringsdose.

3) Resonans: \(L = 10 \, mH\) og \(C = 100 \, \mu F\) i serie.

\(f_0 = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{0{,}010 \cdot 100 \cdot 10^{-6}}} = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{10^{-6}}} = \dfrac{1}{2\pi \cdot 10^{-3}} \approx 159 \, Hz\)

Ved 159 Hz kansellerer reaktansane kvarandre, og kretsen oppfører seg reint resistivt.

For copy/paste

Markdown / Latex:

$$
X_L = 2\pi f L
$$

$$
X_C = \dfrac{1}{2\pi f C}
$$

$$
f_0 = \dfrac{1}{2\pi \sqrt{LC}}
$$

Python:

import math

def XL(f, L):
    """Induktiv reaktans [Ω] for L [H] ved f [Hz]."""
    return 2 * math.pi * f * L

def XC(f, C):
    """Kapasitiv reaktans [Ω] for C [F] ved f [Hz]."""
    return 1 / (2 * math.pi * f * C)

def resonansfrekvens(L, C):
    """f_0 [Hz] der X_L = X_C."""
    return 1 / (2 * math.pi * math.sqrt(L * C))