Resistans i serie og parallell

Reduksjon av eit nett med motstandar til ein enkelt erstatningsresistans. Same prinsipp gjeld for impedansar i AC-krets, og (med snudd formel) for kondensatorar.

---

Formel

Serie — straumen er den same gjennom alle, spenningane summerer:

\[ \huge R_{tot} = R_1 + R_2 + \dots + R_n = \sum_{i=1}^{n} R_i \]

Parallell — spenninga er den same over alle, straumane summerer:

\[ \huge \dfrac{1}{R_{tot}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dots + \dfrac{1}{R_n} \]

Spesialtilfelle for berre to motstandar i parallell (svært nyttig hugsregel):

\[ \large R_{tot} = \dfrac{R_1 \cdot R_2}{R_1 + R_2} \]

N like motstandar i parallell (annan hugsregel):

\[ \large R_{tot} = \dfrac{R}{N} \]

---

Variabler

\(R_i =\) Den i-te motstanden (\(\Omega\))
\(R_{tot} =\) Erstatningsresistans (\(\Omega\))
\(N =\) Tal på like motstandar (–)

---

Enheter og antagelser

SI-enheter: Ohm.

Same formlar gjeld for:
- Impedans i AC-krets — men då med kompleks aritmetikk (\(Z_i = R_i + j X_i\)).
- Kondensatorar — men snudd: kapasitansar i parallell summerer, og resiproke summerer i serie.
- Induktansar — same form som motstandar.

Hugsregel for serie/parallell:
- Serie: \(R_{tot}\) er alltid større enn den største motstanden.
- Parallell: \(R_{tot}\) er alltid mindre enn den minste motstanden.

(Bruk dette som sanity-sjekk.)

---

Eksempel

1) Blanda kopling: \(R_1 = 10 \, \Omega\) i serie med (\(R_2 = 30 \, \Omega\) parallell \(R_3 = 60 \, \Omega\)). Krets matast med 12 V.

Først parallellen:

\(R_{23} = \dfrac{R_2 \cdot R_3}{R_2 + R_3} = \dfrac{30 \cdot 60}{30 + 60} = \dfrac{1800}{90} = 20 \, \Omega\)

Sanity: 20 Ω < 30 Ω (mindre enn minste). ✓

Så serien:

\(R_{tot} = R_1 + R_{23} = 10 + 20 = 30 \, \Omega\)

Total straum:

\(I = \dfrac{U}{R_{tot}} = \dfrac{12}{30} = 0{,}4 \, A\)

Spenninga over parallellen er \(U_{23} = I \cdot R_{23} = 0{,}4 \cdot 20 = 8 \, V\), og straumane fordeler seg som \(I_2 = 8/30 \approx 0{,}27 \, A\) og \(I_3 = 8/60 \approx 0{,}13 \, A\) (sum 0,40 A — sjekk).

2) Tre 6 Ω varmeelement parallell:

\(R_{tot} = \dfrac{R}{N} = \dfrac{6}{3} = 2 \, \Omega\)

På 230 V: \(I = 230/2 = 115 \, A\), \(P = 230^2/2 = 26{,}5 \, kW\).

---

Utledning

Serie følgjer av Kirchhoffs spenningslov: spenningane må summere til total spenning, og straumen \(I\) er den same gjennom alle:

\(U = U_1 + U_2 + \dots = I R_1 + I R_2 + \dots = I (R_1 + R_2 + \dots)\)

Definer \(R_{tot} = U/I\), og du har formelen.

Parallell følgjer av Kirchhoffs straumlov: straumane må summere, og spenninga \(U\) er den same over alle:

\(I = I_1 + I_2 + \dots = \dfrac{U}{R_1} + \dfrac{U}{R_2} + \dots = U \left(\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dots\right)\)

Definer \(R_{tot} = U/I\), og du får \(1/R_{tot} = \sum 1/R_i\).

---

For copy/paste

Markdown / Latex:

$$
R_{tot} = R_1 + R_2 + \dots + R_n
$$

$$
\dfrac{1}{R_{tot}} = \dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dots + \dfrac{1}{R_n}
$$

Python:

def serie(*R):
    """Erstatningsresistans i serie."""
    return sum(R)

def parallell(*R):
    """Erstatningsresistans i parallell."""
    return 1 / sum(1 / r for r in R)

---

Relatert

• Ohms lov
• Impedans