Bevegelseslikninger ved konstant akselerasjon

Tre ligninger som relaterer posisjon, hastighet, tid og akselerasjon når akselerasjonen er konstant. Klassisk verktøy for fritt fall, bremselengde, akselerasjonsfaser og lignende.

Formel

Rettlinjet (translasjon)

\[ v = v_0 + a t \]

\[ x = x_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2 \]

\[ v^2 = v_0^2 + 2 a (x - x_0) \]

Rotasjon (samme form, andre symbol)

\[ \omega = \omega_0 + \alpha t \]

\[ \theta = \theta_0 + \omega_0 t + \tfrac{1}{2} \alpha t^2 \]

\[ \omega^2 = \omega_0^2 + 2 \alpha (\theta - \theta_0) \]

Variabler

Rettlinjet

\(x =\) Posisjon ved tid \(t\) [\(m\)]
\(x_0 =\) Startposisjon [\(m\)]
\(v =\) Hastighet ved tid \(t\) [\(m/s\)]
\(v_0 =\) Starthastighet [\(m/s\)]
\(a =\) Akselerasjon (konstant) [\(m/s^2\)]
\(t =\) Tid [\(s\)]

Rotasjon

\(\theta =\) Vinkelposisjon ved tid \(t\) [\(rad\)]
\(\theta_0 =\) Startvinkel [\(rad\)]
\(\omega =\) Vinkelhastighet ved tid \(t\) [\(rad/s\)]
\(\omega_0 =\) Start-vinkelhastighet [\(rad/s\)]
\(\alpha =\) Vinkelakselerasjon (konstant) [\(rad/s^2\)]
\(t =\) Tid [\(s\)]

Enheter og antagelser

SI-enheter, men formlene fungerer i alle enhetssystem så lenge du er konsekvent.
Krav: Akselerasjonen må være konstant gjennom hele intervallet. Hvis \(a\) varierer med tid, posisjon eller hastighet må man integrere — se Derivasjon og Integrasjon.
Bevegelsen er rettlinjet, eller projektert på én akse. I 2D/3D bruker man formlene komponentvis (f.eks. for Prosjektilbevegelse).
Tyngdekraft nær jordoverflaten gir \(a = g = 9{,}81 \ m/s^2\) rettet nedover. Standard valg for fritt fall.
Vinkelstørrelser må være i radianer (ikke grader eller rpm).

Velge riktig ligning

Du kjenner	Du vil finne	Bruk
\(v_0, a, t\)	\(v\)	\(v = v_0 + at\)
\(v_0, a, t\)	\(x\)	\(x = x_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2\)
\(v_0, a, \Delta x\)	\(v\) (uten tid)	\(v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta x\)
\(v, v_0, a\)	\(t\)	Løs første for \(t\)
\(v, v_0, \Delta x\)	\(a\)	Løs tredje for \(a\)

Utledning

Når \(a\) er konstant og \(a = dv/dt\):

\(\int_{v_0}^{v} dv = \int_0^t a \, dt \quad \Rightarrow \quad v = v_0 + a t\)

Setter \(v = dx/dt\) og integrerer en gang til:

\(\int_{x_0}^{x} dx = \int_0^t (v_0 + a t) \, dt \quad \Rightarrow \quad x = x_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2\)

Den tredje ligningen (uten tid) får man ved å eliminere \(t\) fra de to første, eller direkte ved kjerneregelen \(a = v \, dv/dx\):

\(\int_{v_0}^v v \, dv = \int_{x_0}^x a \, dx \quad \Rightarrow \quad \tfrac{1}{2}(v^2 - v_0^2) = a(x - x_0)\)

For rotasjon er utledningen identisk med \(\theta \leftrightarrow x\), \(\omega \leftrightarrow v\), \(\alpha \leftrightarrow a\).

Eksempel — bremselengde

En bil bremser fra 80 km/t til full stopp på 50 m. Hva er den (konstante) retardasjonen?

\(v_0 = 80/3.6 \approx 22{,}22 \ m/s, \quad v = 0, \quad \Delta x = 50 \ m\)

Bruker \(v^2 = v_0^2 + 2a\,\Delta x\):

\(0 = 22{,}22^2 + 2a \cdot 50 \quad \Rightarrow \quad a = -\dfrac{22{,}22^2}{100} \approx -4{,}94 \ m/s^2\)

Bilen retarderer ca. \(5 \ m/s^2\) — tilsvarende rundt \(0{,}5 \ g\).

Eksempel — fritt fall

En stein slippes fra hvile fra et 30 m høyt stup. Hvor lang tid bruker den ned, og hvor stor er nedslagshastigheten?

\(v_0 = 0, \quad a = g = 9{,}81 \ m/s^2\) (nedover), \(\quad \Delta x = 30 \ m\)

Tid: \(\Delta x = \tfrac{1}{2} g t^2 \Rightarrow t = \sqrt{2 \cdot 30 / 9{,}81} \approx 2{,}47 \ s\)

Hastighet: \(v = g t \approx 9{,}81 \cdot 2{,}47 \approx 24{,}3 \ m/s \approx 87{,}5 \ km/t\)

For copy/paste

Markdown / Latex:

$$
v = v_0 + a t
$$

$$
x = x_0 + v_0 t + \tfrac{1}{2} a t^2
$$

$$
v^2 = v_0^2 + 2 a (x - x_0)
$$