Partiell derivasjon
En partiell derivert er den deriverte av en funksjon av flere variabler med hensyn på én av dem — alle andre variabler behandles som konstanter.
Skrivemåten bruker det "krøllete" d-tegnet \(\partial\) for å skille fra vanlig derivasjon.
Mekanisk intuisjon — typisk når noe avhenger av flere størrelser samtidig:
- Kinetisk energi: \(E_k = \tfrac{1}{2} m v^2\) — avhenger av masse og hastighet
- Effekt: \(P = F \cdot v\) — endring per kraft og per hastighet
- Spenning: \(\sigma = \dfrac{F}{A}\) — endrer seg ulikt med kraft og tverrsnitt
- Gravitasjon: \(F = G \dfrac{m_1 m_2}{r^2}\) — endrer seg på ulik måte med \(r\) enn med massene
- Tilstandsfunksjoner i termodynamikk: \(U = U(T, V) \Rightarrow \left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_V\) er endring i indre energi per grad ved konstant volum
Notasjon
| Form | Eksempel |
|---|---|
| Leibniz | \(\dfrac{\partial f}{\partial x}, \quad \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\) |
| Subskript | \(f_x, \quad f_{xy}\) |
| Med fastholdte | \(\left(\dfrac{\partial U}{\partial T}\right)_{V, N}\) — typisk i termodynamikk |
Notasjonen \(\left( \cdot \right)_V\) presiserer hva som holdes konstant. Det er ikke alltid åpenbart fra en formel alene, så det er god praksis å skrive det opp.
Grunnprinsipp
Partiell derivasjon bruker akkurat samme regler som vanlig derivasjon — du later bare som om de andre variablene er rene tall.
Eksempel: Kinetisk energi \(E_k(m, v) = \tfrac{1}{2} m v^2\)
- \(\dfrac{\partial E_k}{\partial m} = \tfrac{1}{2} v^2\) endring i energi per økning i masse (hastighet konstant)
- \(\dfrac{\partial E_k}{\partial v} = m v\) endring i energi per økning i hastighet (masse konstant) — dette er nettopp momentum
Regler — alle de samme som vanlig derivasjon
Erstatt \(\dfrac{d}{dx}\) med \(\dfrac{\partial}{\partial x}\). Alle reglene fra derivasjonsnotatet gjelder.
Konstantregel, potensregel, sum, faktor
Produktregelen
Eksempel — effekt \(P(F, v) = F \cdot v\) der både kraft og hastighet kan variere:
- \(\dfrac{\partial P}{\partial F} = v\) (hastighet er konstant her)
- \(\dfrac{\partial P}{\partial v} = F\) (kraft er konstant her)
Total endring i effekt: \(dP = v\, dF + F\, dv\) — effekten øker enten ved å øke kraft (med hastigheten som "vekt") eller hastighet (med kraften som "vekt").
Kvotientregelen
Eksempel — spenning \(\sigma = \dfrac{F}{A}\):
- \(\dfrac{\partial \sigma}{\partial F} = \dfrac{1}{A}\) spenningen vokser lineært med kraften
- \(\dfrac{\partial \sigma}{\partial A} = -\dfrac{F}{A^2}\) spenningen synker når tverrsnittet øker, men ikke lineært
Kjerneregelen (multivariabel)
Når \(f\) avhenger av variabler som selv er funksjoner av en eller flere parametere, må du summere bidraget fra hver "kjede".
Tilfelle 1 — én parameter: \(f(x, y)\) der \(x = x(t), \, y = y(t)\)
Mekanisk eksempel — energibevaring faller direkte ut:
Total mekanisk energi for en partikkel i et konservativt kraftfelt:
Begge variablene avhenger av tid. Tidsendring:
Newtons andre lov sier \(m \dot{v} = F = -U'(x)\). Sett det inn:
Energien er konstant — bevaring av mekanisk energi dukker rett ut av multivariabel kjerneregel.
Tilfelle 2 — flere parametere: \(f(x, y)\) der \(x = x(s, t), \, y = y(s, t)\)
Brukes typisk ved koordinatbytte (kartesisk ↔ polar, sylindrisk osv.).
Høyere ordens partielle deriverte
Du kan derivere flere ganger. Rekkefølgen vises i notasjonen:
OBS — Leibniz-rekkefølge er omvendt subskript-rekkefølge: \(f_{xy} = \dfrac{\partial}{\partial y}\left( \dfrac{\partial f}{\partial x} \right)\). Først deriver mht. \(x\), så mht. \(y\).
Eksempel — kinetisk energi \(E_k = \tfrac{1}{2} m v^2\):
- \(E_{k, v} = m v\) — momentum
- \(E_{k, vv} = m\) — masse (treghet — motstanden mot å endre hastighet)
- \(E_{k, m} = \tfrac{1}{2} v^2\)
- \(E_{k, mv} = v\)
Total differensial
Beskriver hvordan \(f\) endrer seg når alle variablene endrer seg samtidig.
Mekanisk eksempel — feilforplantning for kinetisk energi:
\(E_k = \tfrac{1}{2} m v^2\) med usikkerhet i både \(m\) og \(v\):
Relativ feil:
Hastighetsfeilen teller dobbelt — fordi \(v\) er kvadrert. Det er typen innsikt du får gratis av total differensial.
Andre bruksområder:
- Termodynamikk: \(dU = T\, dS - p\, dV\) — total endring i indre energi
- Tilstandsfunksjoner: Hvis \(df\) kan skrives som over, er \(f\) en tilstandsfunksjon — endringen avhenger bare av start og slutt, ikke veien
Gradient og retningsderivert
Gradienten samler alle de partielle deriverte til en vektor:
Gradienten peker i retningen \(f\) vokser raskest, og lengden er den raskeste stigningen.
Mekanisk eksempel — konservativ kraft fra potensial:
Krefter fra et potensial peker i retningen energien synker raskest (negativ gradient). En partikkel "ruller nedover" i potensialfeltet.
- Tyngdefelt: \(U = m g h \Rightarrow \vec{F} = -m g \hat{h}\) (peker ned)
- Fjær: \(U = \tfrac{1}{2} k x^2 \Rightarrow F = -k x\) (peker mot likevektet)
- Sentralfelt: \(U(r) \Rightarrow \vec{F} = -\dfrac{dU}{dr} \hat{r}\)
Retningsderivert — stigning langs en enhetsvektor \(\hat{u}\):
Koblede variabler — når akselerasjon avhenger av posisjon eller hastighet
I dynamikkproblemer er det vanlig at akselerasjonen avhenger av posisjon (fjær), hastighet (luftmotstand), eller begge. Du kan ikke bare integrere \(a\) med hensyn på \(t\), fordi \(x\) og \(v\) også er funksjoner av tid.
Triksen er å bruke kjerneregelen til å bytte uavhengig variabel slik at problemet blir separabelt.
Definisjonene som utgangspunkt
Med kjerneregelen kan \(a\) skrives om slik at det blir derivert mht. posisjon istedenfor tid:
Dimensjonscheck: \(\dfrac{dv}{dx}\) har enhet \(\dfrac{\text{m/s}}{\text{m}} = \dfrac{1}{\text{s}}\) — endring i hastighet per meter. Ganger du med \(v\) (\(\text{m/s}\)) får du \(\text{m/s}^2\) — akselerasjon. Stemmer.
Tolkning: "Jeg endrer hastighet med så-og-så mye per meter, og jeg tilbakelegger så-og-så mange meter per sekund — produktet er hvor mye hastigheten endrer seg per sekund."
Velg form etter hva som henger sammen
| Hva er \(a\) avhengig av? | Bruk formen | Separer som |
|---|---|---|
| Tid: \(a = a(t)\) | \(a = \dfrac{dv}{dt}\) | \(dv = a(t)\, dt\) |
| Hastighet: \(a = a(v)\) | \(a = \dfrac{dv}{dt}\) | \(\dfrac{dv}{a(v)} = dt\) |
| Posisjon: \(a = a(x)\) | \(a = v \dfrac{dv}{dx}\) | \(v\, dv = a(x)\, dx\) |
Eksempel — partikkel i fjær med tyngde
Akselerasjon (gitt): \(a = g + 2x\), positiv \(x\) nedover.
\(a\) avhenger av \(x\) ⇒ bruk \(a = v \dfrac{dv}{dx}\):
Multipliser begge sider med \(dx\) slik at hver differensial havner på samme side som sin variabel:
Nå er venstre side bare en funksjon av \(v\), høyre bare en funksjon av \(x\). Integrer hver side med hensyn på sin variabel:
Du har nå hastighet som funksjon av posisjon, \(v(x)\). For å gå videre til \(x(t)\) kan du bruke \(v = \dfrac{dx}{dt}\) og en ny separasjon: \(\dfrac{dx}{v(x)} = dt\).
Eksempel — fritt fall med luftmotstand
Akselerasjon: \(a = g - kv\) (luftmotstand proporsjonal med hastighet).
\(a\) avhenger av \(v\) ⇒ bruk \(a = \dfrac{dv}{dt}\) direkte:
Integrer (med \(v_0 = 0\)):
Hastigheten nærmer seg terminalverdien \(\tfrac{g}{k}\) asymptotisk — det dukker direkte ut av separasjonen.
Hovedidé: Når variablene er koblet, bytt uavhengig variabel slik at differensialene separeres. Velg form etter hva \(a\) faktisk avhenger av, ikke etter vane.
Strategi — hvilken regel når?
- Ren partiell? Behandle alle andre variabler som konstanter, bruk vanlige derivasjonsregler.
- Variabler som selv avhenger av en parameter? Multivariabel kjerneregel — summer over alle "veier".
- Trenger total endring av \(f\)? Bruk total differensial.
- "Vekstretning" eller fluks? Tenk gradient + retningsderivert. Kraft fra potensial: \(\vec{F} = -\nabla U\).
- Akselerasjon koblet til posisjon eller hastighet? Bruk \(a = v \tfrac{dv}{dx}\) for å bytte uavhengig variabel og få et separabelt problem.
Vanlige partielle deriverte — eksempler
| \(f(x, y)\) | \(f_x\) | \(f_y\) |
|---|---|---|
| \(x + y\) | \(1\) | \(1\) |
| \(x \cdot y\) | \(y\) | \(x\) |
| \(x^2 + y^2\) | \(2x\) | \(2y\) |
| \(x^n y^m\) | \(n x^{n-1} y^m\) | \(m x^n y^{m-1}\) |
| \(\sin(xy)\) | \(y \cos(xy)\) | \(x \cos(xy)\) |
| \(e^{xy}\) | \(y \, e^{xy}\) | \(x \, e^{xy}\) |
| \(\ln(x^2 + y^2)\) | \(\dfrac{2x}{x^2+y^2}\) | \(\dfrac{2y}{x^2+y^2}\) |
| \(\sqrt{x^2 + y^2}\) | \(\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\) | \(\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\) |
| \(\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right)\) | \(-\dfrac{y}{x^2+y^2}\) | \(\dfrac{x}{x^2+y^2}\) |
For copy/paste
Markdown / LaTeX:
$$
\dfrac{\partial f}{\partial x}
$$
$$
\dfrac{\partial}{\partial x}(f \cdot g) = \dfrac{\partial f}{\partial x} \cdot g + f \cdot \dfrac{\partial g}{\partial x}
$$
$$
\dfrac{\partial}{\partial x}\left( \dfrac{f}{g} \right) = \dfrac{f_x \cdot g - f \cdot g_x}{g^2}
$$
$$
\dfrac{df}{dt} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \cdot \dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \cdot \dfrac{dy}{dt}
$$
$$
\dfrac{\partial f}{\partial s} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \cdot \dfrac{\partial x}{\partial s} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \cdot \dfrac{\partial y}{\partial s}
$$
$$
df = \dfrac{\partial f}{\partial x}\, dx + \dfrac{\partial f}{\partial y}\, dy + \dfrac{\partial f}{\partial z}\, dz
$$
$$
\nabla f = \left( \dfrac{\partial f}{\partial x}, \, \dfrac{\partial f}{\partial y}, \, \dfrac{\partial f}{\partial z} \right)
$$
$$
D_{\hat{u}} f = \nabla f \cdot \hat{u}
$$
$$
\vec{F} = -\nabla U
$$
Koblede variabler (kjerneregel-triks for dynamikk):
$$
a = \dfrac{dv}{dt} = \dfrac{dv}{dx} \cdot \dfrac{dx}{dt} = v \cdot \dfrac{dv}{dx}
$$
$a = a(t) \quad \Rightarrow \quad dv = a(t)\, dt$
$a = a(v) \quad \Rightarrow \quad \dfrac{dv}{a(v)} = dt$
$a = a(x) \quad \Rightarrow \quad v\, dv = a(x)\, dx$
Vanlige partielle (eksempler):
$\dfrac{\partial}{\partial x}(x + y) = 1$
$\dfrac{\partial}{\partial x}(xy) = y$
$\dfrac{\partial}{\partial x}(x^n y^m) = n x^{n-1} y^m$
$\dfrac{\partial}{\partial x}\sin(xy) = y \cos(xy)$
$\dfrac{\partial}{\partial x}e^{xy} = y \, e^{xy}$
$\dfrac{\partial}{\partial x}\ln(x^2+y^2) = \dfrac{2x}{x^2+y^2}$
$\dfrac{\partial}{\partial x}\sqrt{x^2+y^2} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$
$\dfrac{\partial}{\partial x}\arctan\!\left(\dfrac{y}{x}\right) = -\dfrac{y}{x^2+y^2}$