Integrasjon
Integrasjon er det motsatte av derivasjon og kan tolkes på to måter — begge er nyttige:
- Antiderivert: Finn en funksjon \(F(x)\) slik at \(F'(x) = f(x)\).
- Akkumulasjon / areal: Summer opp uendelig mange uendelig små bidrag \(f(x) \cdot dx\) — det blir arealet under grafen.
Mekanisk intuisjon — integrasjon er akkumulasjon over tid eller rom:
- \(s(t) = \displaystyle\int v(t)\, dt\) posisjon = akkumulert hastighet
- \(W = \displaystyle\int F\, dx\) arbeid = kraft akkumulert over strekning
- \(J = \displaystyle\int F\, dt\) impuls = kraft akkumulert over tid
- \(Q = \displaystyle\int \dot{m}\, dt\) volum/masse = strøm akkumulert
- \(I = \displaystyle\int r^2\, dm\) treghetsmoment = avstand² akkumulert med masse
Notasjon — ubestemt vs. bestemt integral
Ubestemt integral (gir en familie av funksjoner):
Pluss-konstanten \(C\) er fordi alle funksjoner som skiller seg fra \(F\) med en konstant har samme deriverte.
Bestemt integral (gir et tall — netto akkumulasjon mellom \(a\) og \(b\)):
Dette er fundamentalsetningen i kalkulus — bro mellom derivasjon og integrasjon.
Tegn til høyre for \(f\) teller positivt areal (over \(x\)-aksen), under aksen teller negativt.
Grunnregler
1. Konstantregelen
Eksempel: \(\int 7\, dx = 7x + C\)
2. Potensregelen
"Legg én til eksponenten, del på den nye eksponenten."
Eksempel: \(\int x^3\, dx = \dfrac{x^4}{4} + C\)
Mekanisk: Konstant hastighet \(v\) gir posisjon \(s = v \cdot t\) — det er \(\int v\, dt\). Konstant akselerasjon \(a\) gir hastighet \(v = a \cdot t\), og posisjon \(s = \tfrac{1}{2} a t^2\) — det er potensregelen brukt to ganger.
3. Spesialtilfellet \(n = -1\)
Potensregelen virker ikke her (du ville fått divisjon på null). Logaritmen dukker opp av naturen.
4. Konstantfaktorregelen
Eksempel: \(\int 5x^2\, dx = 5 \cdot \dfrac{x^3}{3} = \dfrac{5x^3}{3} + C\)
5. Sum- og differanseregelen
Eksempel: \(\int (3x^2 + 2x - 1)\, dx = x^3 + x^2 - x + C\)
Det finnes ingen produktregel eller kvotientregel for integraler — det er grunnen til at integrasjon er vanskeligere enn derivasjon. Istedenfor bruker vi strategiene under.
Strategier
Strategi 1 — Substitusjon (omvendt kjerneregel)
Brukes når integranden inneholder en funksjon og dens deriverte (gjerne forkledd som en konstantfaktor).
Framgangsmåte:
- Sett \(u =\) den "innerste" funksjonen.
- Regn ut \(du = g'(x)\, dx\).
- Bytt alt med \(u\) og \(du\).
- Integrer i \(u\), bytt tilbake til \(x\).
Eksempel: \(\int 2x \cdot \cos(x^2)\, dx\)
La \(u = x^2 \Rightarrow du = 2x\, dx\).
Mekanisk parallell: Substitusjon er som å bytte koordinatsystem til ett der problemet er trivielt. Helt analogt med å regne et trykkfall i \(\Delta P\) istedenfor å holde styr på \(P_1\) og \(P_2\) separat.
Strategi 2 — Delvis integrasjon (omvendt produktregel)
Brukes når integranden er et produkt av to ulike funksjonstyper (typisk polynom × eksponential, polynom × trig, polynom × logaritme).
Valg av \(u\) — LIATE-regel (velg \(u\) etter denne rangeringen, øverst først):
| L | Logaritme |
| I | Inverse trig (arcsin, arctan ...) |
| A | Algebraisk (polynom) |
| T | Trig (sin, cos) |
| E | Eksponential (\(e^x\)) |
Eksempel: \(\int x \cdot e^x\, dx\)
LIATE: polynom > eksponential ⇒ \(u = x\), \(dv = e^x dx\). Da blir \(du = dx\) og \(v = e^x\).
Tommelfinger: Velg \(u\) slik at \(du\) blir enklere enn \(u\), og \(dv\) slik at du kan integrere det.
Strategi 3 — Delbrøkoppspaltning
Når integranden er en rasjonal funksjon \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) der nevneren kan faktoriseres. Del opp i enklere brøker du kan integrere hver for seg.
Eksempel: \(\displaystyle\int \dfrac{1}{x^2 - 1}\, dx\)
Faktoriser nevneren: \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\). Sett
Multipliser opp og løs: \(A = \tfrac{1}{2}, B = -\tfrac{1}{2}\).
Strategi 4 — Trigonometriske identiteter
Når integranden inneholder \(\sin^2, \cos^2, \sin \cdot \cos\) osv. — skriv om med identitetene først.
Nyttige omskrivinger:
Eksempel: \(\int \sin^2 x\, dx = \int \dfrac{1 - \cos(2x)}{2}\, dx = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin(2x)}{4} + C\)
Strategi 5 — Symmetri
Sjekk om integranden er odd eller even rundt symmetripunktet i intervallet — kan ofte spare hele jobben.
- \(f(x)\) odd (\(f(-x) = -f(x)\)) og symmetrisk intervall \([-a, a]\) ⇒ \(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)\, dx = 0\)
- \(f(x)\) even (\(f(-x) = f(x)\)) og symmetrisk intervall ⇒ \(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)\, dx = 2\displaystyle\int_{0}^{a} f(x)\, dx\)
Eksempel: \(\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi} \sin x \cdot x^2\, dx = 0\) (odd × even = odd)
Strategi 6 — Tabelloppslag
Mange "standard" integraler finner du i tabellen lengst nede. Sjekk der før du investerer i delvis integrasjon.
Strategi — hvilken framgang når?
- Kan du skrive integranden om så den blir et standardform-oppslag? Gjør det først.
- Sum av enkle ledd? Bryt opp, integrer hvert for seg.
- Konstant foran? Sett utenfor.
- Ser du en funksjon og dens deriverte (på faktor-form)? Substitusjon.
- Produkt av ulike funksjonstyper? Delvis integrasjon (LIATE for valg av \(u\)).
- Rasjonal funksjon? Delbrøkoppspaltning.
- Trigonometrisk uttrykk med kvadrater eller produkt? Identitetsomskriving.
- Symmetrisk intervall? Sjekk odd/even — kan gi 0 eller halverer jobben.
Vanlige integraler — oppslagstabell
Alle ubestemte integraler har implisitt \(+ C\).
Algebraiske
| \(f(x)\) | \(\int f(x)\, dx\) |
|---|---|
| \(c\) | \(c \cdot x\) |
| \(x^n\) \((n \neq -1)\) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln\lvert x \rvert\) |
| \(\sqrt{x}\) | \(\dfrac{2}{3} x^{3/2}\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) |
Eksponential og logaritme
| \(f(x)\) | \(\int f(x)\, dx\) |
|---|---|
| \(e^x\) | \(e^x\) |
| \(e^{kx}\) | \(\dfrac{1}{k} e^{kx}\) |
| \(a^x\) | \(\dfrac{a^x}{\ln a}\) |
| \(\ln x\) | \(x \ln x - x\) |
Trigonometriske
| \(f(x)\) | \(\int f(x)\, dx\) |
|---|---|
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) |
| \(\tan x\) | \(-\ln\lvert \cos x \rvert = \ln\lvert \sec x \rvert\) |
| \(\cot x\) | \(\ln\lvert \sin x \rvert\) |
| \(\sec x\) | \(\ln\lvert \sec x + \tan x \rvert\) |
| \(\csc x\) | \(-\ln\lvert \csc x + \cot x \rvert\) |
| \(\sec^2 x\) | \(\tan x\) |
| \(\csc^2 x\) | \(-\cot x\) |
| \(\sec x \tan x\) | \(\sec x\) |
| \(\csc x \cot x\) | \(-\csc x\) |
| \(\sin^2 x\) | \(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin(2x)}{4}\) |
| \(\cos^2 x\) | \(\dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin(2x)}{4}\) |
Som gir invers-trig
| \(f(x)\) | \(\int f(x)\, dx\) |
|---|---|
| \(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\) | \(\arcsin x\) |
| \(\dfrac{1}{1+x^2}\) | \(\arctan x\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\) | \(\arcsin\!\left(\dfrac{x}{a}\right)\) |
| \(\dfrac{1}{a^2+x^2}\) | \(\dfrac{1}{a} \arctan\!\left(\dfrac{x}{a}\right)\) |
| \(\dfrac{1}{x \sqrt{x^2-1}}\) | \(\text{arcsec}\,\lvert x \rvert\) |
Hyperbolske
| \(f(x)\) | \(\int f(x)\, dx\) |
|---|---|
| \(\sinh x\) | \(\cosh x\) |
| \(\cosh x\) | \(\sinh x\) |
| \(\tanh x\) | \(\ln \cosh x\) |
For copy/paste
Markdown / LaTeX:
$$
\int f(x)\, dx = F(x) + C
$$
$$
\int_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a)
$$
$$
\int c\, dx = c x + C
$$
$$
\int x^n\, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C, \quad n \neq -1
$$
$$
\int \dfrac{1}{x}\, dx = \ln|x| + C
$$
$$
\int c \cdot f(x)\, dx = c \int f(x)\, dx
$$
$$
\int (f \pm g)\, dx = \int f\, dx \pm \int g\, dx
$$
$$
\int f(g(x)) \cdot g'(x)\, dx = \int f(u)\, du, \quad u = g(x)
$$
$$
\int u\, dv = u v - \int v\, du
$$
Vanlige integraler (alle med \(+ C\)):
$\int x^n dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}, \quad n \neq -1$
$\int \dfrac{1}{x} dx = \ln|x|$
$\int \sqrt{x} dx = \dfrac{2}{3} x^{3/2}$
$\int \dfrac{1}{\sqrt{x}} dx = 2\sqrt{x}$
$\int e^x dx = e^x$
$\int e^{kx} dx = \dfrac{1}{k} e^{kx}$
$\int a^x dx = \dfrac{a^x}{\ln a}$
$\int \ln x \, dx = x \ln x - x$
$\int \sin x \, dx = -\cos x$
$\int \cos x \, dx = \sin x$
$\int \tan x \, dx = -\ln|\cos x|$
$\int \cot x \, dx = \ln|\sin x|$
$\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x|$
$\int \csc x \, dx = -\ln|\csc x + \cot x|$
$\int \sec^2 x \, dx = \tan x$
$\int \csc^2 x \, dx = -\cot x$
$\int \sec x \tan x \, dx = \sec x$
$\int \csc x \cot x \, dx = -\csc x$
$\int \sin^2 x \, dx = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\sin(2x)}{4}$
$\int \cos^2 x \, dx = \dfrac{x}{2} + \dfrac{\sin(2x)}{4}$
$\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x$
$\int \dfrac{1}{1+x^2} dx = \arctan x$
$\int \dfrac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \arcsin\left(\dfrac{x}{a}\right)$
$\int \dfrac{1}{a^2+x^2} dx = \dfrac{1}{a}\arctan\left(\dfrac{x}{a}\right)$
$\int \sinh x \, dx = \cosh x$
$\int \cosh x \, dx = \sinh x$
$\int \tanh x \, dx = \ln \cosh x$