Skip to content

Plan rørsle av stive legemer — krefter og akselerasjon

Newtons andre lov for stive legemer i plan rørsle. Forskjellen frå punktmasse-versjonen er at man trenger tre ligninger — to for translasjon av massesenteret og en for rotasjon om massesenteret.

Formel

Standardform (om massesenter G)

\[ \sum F_x = m \bar a_x \]
\[ \sum F_y = m \bar a_y \]
\[ \sum M_G = \bar I \alpha \]

Snarvei for rotasjon om fast akse O

Når kroppen roterer om en fast akse \(O\) (lager, hengsel) kan momentligningen tas direkte om \(O\):

\[ \sum M_O = I_O \alpha, \qquad I_O = \bar I + m \bar r^2 \ \text{(Steiner)} \]

Da slipper man å rekne ut \(\bar a\) for å bruke momentligningen.

Variabler

\(\sum F_x, \sum F_y =\) Summen av krefter i \(x\)- og \(y\)-retning [\(N\)]
\(\sum M_G =\) Sum av momenter om massesenteret \(G\) [\(N \cdot m\)]
\(\sum M_O =\) Sum av momenter om en fast rotasjonsakse \(O\) [\(N \cdot m\)]
\(m =\) Total masse [\(kg\)]
\(\bar a_x, \bar a_y =\) Akselerasjon til massesenteret [\(m/s^2\)]
\(\bar I =\) Massetreghetsmoment om akse gjennom \(G\) [\(kg \cdot m^2\)]
\(I_O =\) Massetreghetsmoment om den faste aksen \(O\) [\(kg \cdot m^2\)]
\(\alpha =\) Vinkelakselerasjon [\(rad/s^2\)]
\(\bar r =\) Avstand fra \(G\) til den faste aksen \(O\) [\(m\)]

Enheter og antagelser

  • SI-enheter: \(N\), \(kg\), \(m\), \(s\), \(rad\).
  • Gjelder i et inertialsystem.
  • Plan rørsle betyr at all bevegelse skjer i ett plan, og rotasjonsaksen står vinkelrett på dette planet.
  • Vinkelakselerasjon må være i \(rad/s^2\).
  • \(\bar I\) er massetreghetsmomentet om en akse gjennom \(G\), vinkelrett på rørsleplanet. Tabellverdier finnes i Treghetsmoment og motstandsmoment.
  • Positiv \(\alpha\) og positiv \(M\) defineres oftest mot urviser (matematisk positiv retning).

Spesielle tilfelle

Ren translasjon

Kroppen flytter seg uten å rotere (\(\alpha = 0, \ \omega = 0\)). Alle punkt har samme \(\bar a\).

\[ \sum F_x = m \bar a_x, \quad \sum F_y = m \bar a_y, \quad \sum M_G = 0 \]

Ren rotasjon om fast akse gjennom G

Massesenteret står stille (\(\bar a = 0\)). Bare momentligningen er aktiv:

\[ \sum M_G = \bar I \alpha \]

Ren rotasjon om fast akse O ≠ G (noncentroidal rotation)

Massesenteret går i sirkel rundt \(O\). Akselerasjonen til \(G\) har to komponenter:

\[ \bar a_t = \bar r \alpha, \qquad \bar a_n = \bar r \omega^2 \]

\(\bar a_t\) peker tangentielt (i rotasjonsretningen), \(\bar a_n\) peker frå \(G\) mot \(O\). Bruk gjerne snarveien \(\sum M_O = I_O \alpha\).

Rulling uten glidning

Når et hjul med radius \(r\) ruller på et fast underlag uten å gli:

\[ \bar a = r \alpha \]

(akselerasjonen til senteret henger sammen med vinkelakselerasjonen). Friksjon i kontaktpunktet er en statisk kraft — den utfører ikke arbeid på kroppen.

Hvis det glir (slipper): bruk \(f = \mu_k N\) i stedet, og \(\bar a\) og \(\alpha\) er uavhengige.

Framgangsmåte

  1. Frittlegemediagram — tegn kroppen med alle ytre krefter (tyngd, normal, friksjon, fjær, kontakt) påført der de virker.
  2. Velg koordinatsystem — som regel kartesisk, men kan rotere aksene etter problemets geometri.
  3. Identifiser bindinger — fast akse? rulling? kontakt med annet legeme? Disse gir relasjoner mellom \(\bar a\), \(\alpha\), eventuelt andre legemers akselerasjon.
  4. Skriv de tre ligningene — \(\sum F_x\), \(\sum F_y\), \(\sum M_G\) (eller \(\sum M_O\) ved fast akse).
  5. Løs systemet — tre ligninger, tre ukjente (typisk \(\bar a_x\), \(\bar a_y\), \(\alpha\), eller en ukjent reaksjonskraft og to akselerasjoner).

Eksempel — rullende sylinder ned skråplan

En solid sylinder (\(m, r\)) ruller uten å gli ned et skråplan med helning \(\theta\). Finn lineær akselerasjon \(\bar a\).

Frittlegemediagram: Tyngd \(mg\) rett ned, normalkraft \(N\) vinkelrett på planet, friksjonskraft \(f\) langs planet (oppover, mot rullretningen).

Velg akser langs planet (\(x\), ned) og vinkelrett (\(y\)).

Massetreghetsmoment for solid sylinder: \(\bar I = \tfrac{1}{2} m r^2\).

Ligninger:

\(\sum F_x: \ mg \sin\theta - f = m \bar a\)

\(\sum M_G: \ f \cdot r = \bar I \alpha = \tfrac{1}{2} m r^2 \alpha\)

Rullingsbinding: \(\bar a = r \alpha \ \Rightarrow \ \alpha = \bar a / r\)

Setter inn:
\(f \cdot r = \tfrac{1}{2} m r^2 \cdot \bar a / r = \tfrac{1}{2} m r \bar a \ \Rightarrow \ f = \tfrac{1}{2} m \bar a\)

Tilbake i kraftligningen:
\(mg \sin\theta - \tfrac{1}{2} m \bar a = m \bar a\)

\[ \bar a = \tfrac{2}{3} g \sin\theta \]

Sylinderen akselererer med 2/3 av en kasse som glir friksjonsfritt — rotasjonen "stjeler" 1/3 av energien.

Eksempel — pendel om fast akse

En tynn stang med masse \(m\) og lengde \(L\) er hengslet i den øverste enden og slippes fra horisontal posisjon. Finn vinkelakselerasjonen i det øyeblikket den slippes.

Fast akse \(O\) i øverste ende. Bruk snarveien:

\(I_O = \tfrac{1}{3} m L^2\) (tynn stang om enden)

Tyngden virker i \(G\), midt på stanga, \(\bar r = L/2\) fra \(O\). Når stanga er horisontal:

\(\sum M_O = m g \cdot L/2 = I_O \alpha = \tfrac{1}{3} m L^2 \alpha\)

\[ \alpha = \dfrac{3 g}{2 L} \]

For en 1 m stang: \(\alpha = 3 \cdot 9{,}81 / 2 \approx 14{,}7 \ rad/s^2\).

For copy/paste

Markdown / Latex:

$$
\sum F_x = m \bar a_x, \quad \sum F_y = m \bar a_y, \quad \sum M_G = \bar I \alpha
$$

$$
\sum M_O = I_O \alpha, \qquad I_O = \bar I + m \bar r^2
$$

Relatert