Skip to content

Skjærmodul frå E-modul og Poissons tal

For eit isotropt material heng stivheten i skjær (\(G\)) fast med stivheten i strekk (\(E\)) og tverrkontraksjonen (\(\nu\)).

Element i rent skjær

Formel

\[ \huge G = \dfrac{E}{2 \, (1 + \nu)} \]

Snudd om:

\[ \large E = 2G(1+\nu) \qquad \nu = \dfrac{E}{2G} - 1 \]

Variabler

\(G =\) Skjærmodul (\(MPa\) eller \(GPa\))
\(E =\) Elastisitetsmodul / E-modul (\(MPa\) eller \(GPa\))
\(\nu =\) Poissons tal (dimensjonslaust), tverrkontraksjon / lengdeutviding

\(G\) og \(E\) får same eining.

Enheter og antagelser

  • Isotropt material — like egenskapar i alle retningar. Gjeld for metall, dei fleste plastar (uarmert) og gummi.
  • Gjeld ikkje for tre, fiberkompositt, valsa plater med sterk tekstur, eller 3D-printa delar — der er \(G\) ein eigen materialparameter som må slåast opp.
  • Lineær elastisk, små deformasjonar (under flytegrensa).
  • For isotrope material ligg \(0 \le \nu \le 0{,}5\), så \(G\) ligg alltid mellom \(E/3\) og \(E/2\).
\(\nu\) \(G\) Typisk
0 \(E/2\) Kork (teoretisk grense)
0,30 \(0{,}385 \, E\) Stål
0,33 \(0{,}376 \, E\) Aluminium
0,5 \(E/3\) Gummi (inkompressibelt)

Tommelfingerregel for metall: \(G \approx 0{,}38 \cdot E\), altså litt under 40 % av E-modulen.

Intuitiv forklaring — kvifor formelen ser slik ut

1) Kva skjærmodulen er

E-modulen seier kor mykje eit material strekkjer seg: \(\sigma = E \cdot \varepsilon\).
Skjærmodulen seier kor mykje det skyv seg skeivt: \(\tau = G \cdot \gamma\), der \(\gamma\) er vinkelendringa (i radianar) når eit kvadrat blir til ein rombe (sjå figuren).

Spørsmålet er: kvifor skal desse to henge saman? Skjær og strekk ser jo ut som heilt ulike ting.

2) Nøkkelinnsikta: skjær er strekk og trykk, berre vridd 45°

Sjå på figuren. Når kvadratet blir skyvd skeivt, blir den eine diagonalen lengre (blå) og den andre kortare (oransje). Ein kan ikkje forlenge noko utan strekk — så eit element i rent skjær \(\tau\) er nøyaktig det same som:

  • strekk \(\sigma_1 = +\tau\) langs den eine diagonalen, og
  • trykk \(\sigma_2 = -\tau\) langs den andre.

Dette ser ein i praksis:

  • Sprø material (støypejern, kritt, herda stål) som blir vridd til brot, ryk langs ei 45° skruelinje — dei sviktar i strekk, og strekket går på skrå.
  • Tynnvegga ting (brusboks, tynne platesteg i bjelkar) som blir vridd eller skjæra, får skrå bulkar — det er trykkdiagonalen som knekk.
  • Duktile material (bløtt stål, aluminium) ryk derimot tvert av, fordi dei sviktar i sjølve skjæret.

3) Kor mykje blir diagonalen lengre? — her kjem \((1+\nu)\)

Strekkdiagonalen får to bidrag:

  1. Strekket langs diagonalen drar han ut: \(\dfrac{\tau}{E}\)
  2. Trykket på tvers klemmer elementet saman i den andre retninga — og pga. Poisson-effekten bulnar det då ut i strekkretninga: \(\nu \cdot \dfrac{\tau}{E}\)

Begge drar same veg, så dei legg seg saman:

\[ \large \varepsilon_{diagonal} = \dfrac{\tau}{E} + \nu\dfrac{\tau}{E} = \dfrac{\tau}{E}(1+\nu) \]

Det er det \((1+\nu)\) betyr: trykket i den eine retninga hjelper strekket i den andre. Difor er materialet mjukare i skjær enn ein kanskje skulle tru.

4) Kor stor er vinkelen? — her kjem \(2\)

Rein geometri: sida \(a\) blir skyvd \(\delta = a \cdot \gamma\). Diagonalen er \(a\sqrt{2}\) lang og blir forlenga med ca. \(\delta \cos 45° = \dfrac{a\gamma}{\sqrt{2}}\):

\[ \large \varepsilon_{diagonal} = \dfrac{a\gamma / \sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = \dfrac{\gamma}{2} \]

Altså: diagonalen tøyer seg berre halvparten av skjærvinkelen. Ein liten diagonal-tøyning gir dobbelt så stor vinkelendring.

5) Set saman

\[ \large \dfrac{\gamma}{2} = \dfrac{\tau}{E}(1+\nu) \quad \Rightarrow \quad \dfrac{\tau}{\gamma} = \dfrac{E}{2(1+\nu)} = G \]

Oppsummert:

  • \(2\)-talet er geometri — diagonalen får berre halve skjærvinkelen som tøyning.
  • \((1+\nu)\) er material — Poisson-effekten frå trykkdiagonalen gjer at strekkdiagonalen blir enno lengre.

Begge gjer materialet mjukare i skjær, og difor er \(G\) alltid godt under \(E\).

Typiske verdiar

Material \(E\) (GPa) \(\nu\) \(G\) (GPa)
Stål (konstruksjon) 210 0,30 81
Rustfritt (304/316) 193–200 0,29 75–77
Aluminium 70 0,33 26
Titan (Ti-6Al-4V) 114 0,34 43
Kopar 117 0,34 44
Messing 100 0,34 37
POM (acetal) 3,0 0,35 1,1
Gummi 0,01–0,1 ≈0,5 \(\approx E/3\)

Verdiane er omtrentlege. Som for E-modulen endrar herding og legering \(G\) lite.

Eksempel

1) Stål:

\(E = 210\,000 \, MPa\), \(\nu = 0{,}30\)

\(G = \dfrac{210\,000}{2 \cdot (1 + 0{,}30)} = \dfrac{210\,000}{2{,}6} \approx 80\,800 \, MPa \approx 81 \, GPa\)

2) Stål vs. aluminium i torsjon: Aluminium har ca. 1/3 av E-modulen til stål — og sidan \(\nu\) er nesten lik, også ca. 1/3 av skjærmodulen (\(26/81 = 0{,}32\)).
Ein aluminiumsaksel med same dimensjon og moment vrir seg altså ca. 3 gonger så mykje som ein stålaksel. Sjå Vridning av aksel.

3) Kvifor \(\nu\) ikkje bør reknast tilbake frå \(E\) og \(G\):
Med \(E = 70 \, GPa\) og \(G = 26 \, GPa\): \(\nu = \dfrac{70}{2 \cdot 26} - 1 = 0{,}35\).
Med \(G = 27 \, GPa\) i staden: \(\nu = 0{,}30\).
4 % endring i \(G\) gir 15 % endring i \(\nu\) — formelen er god for å finne \(G\), men sensitiv i motsett retning.

For copy/paste

Markdown / Latex:

$$
G = \dfrac{E}{2 \, (1 + \nu)}
$$

Excel / kalkulator:

=E/(2*(1+nu))